Đối xứng gương đồng đều

Trong lý thuyết dây và các lý thuyết vật lý liên quan, một màng (tiếng Anh: brane là một từ mới, rút từ membrane nghĩa là màng) là một đối tượng vật lý tổng quát hóa khái niệm về một hạt điểm cho số chiều lớn hơn. Chẳng hạn, một hạt điểm có thể xem như một màng 0 chiều, trong khi một dây có thể coi là màng 1 chiều; ngoài ra còn có những màng nhiều chiều hơn nữa.[47]

Trong lý thuyết dây, một dây có thể là mở (tạo ra một đoạn với hai đầu) hoặc kín (tạo ra một vòng kín). Các màng D là một lớp quan trọng các màng sinh ra khi người ta xét tới các dây mở. Khi một dây mở lan truyền trong không thời gian, hai đầu của có cần phải nằm trong một màng D. Chữ D ở đây chỉ điều kiện nó cần phải thỏa mãn, điều kiện biên Dirichlet.[48]

Về mặt toán học, có thể mô tả màng bằng khái niệm phạm trù.[49] Phạm trù là một cấu trúc toán học bao gồm các đối tượng, và với mỗi cặp đối tượng, có một tập những cấu xạ giữa chúng. Trong hầu hết các ví dụ, các đối tượng đó là các cấu trúc toán học (tập hợp, không gian vectơ, hoặc không gian tôpô) và các cấu xạ là các hàm giữa các cấu trúc này.[50] Người ta cũng xét tới các phạm trù mà các đối tượng là các màng D và các cấu xạ giữa hai màng α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } là các trạng thái của các dây mở căng giữa α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } .[51]

Trong lý thuyết dây tô pô mô hình B, các màng D là đa tạp phức con của một đa tạp Calabi-Yau cùng với các thông tin vật lý phụ nảy sinh từ việc có các tích (chẳng hạn điện tích) ở đầu các dây.[51] Một cách trực quan, ta có thể xem một đa tạp con như một mặt nhúng trong đa tạp Calabi–Yau, mặc dù đa tạp con thực ra cũng có thể tồn tại trong số chiều lớn hơn 2.[26] Theo ngôn ngữ toán học, phạm trù có các màng như vậy được gọi là phạm trù phái sinh của các bó mạch lạc trên đa tạp Calabi–Yau.[52] Trong mô hình A, các màng D cũng có thể xem như đa tạp con của một đa tạp Calabi–Yau, được gọi không thực sự chính xác là những đa tạp con Lagrange đặc biệt.[52] Điều này có nghĩa là ngoài những tính chất khác chúng có một nửa số chiều của không gian mà chúng nằm trong và chúng có độ dài, diện tích hoặc thể tích cực tiểu hóa.[53] Phạm trù có những màng này gọi là phạm trù Fukaya.[52]

Phạm trù phái sinh của bó mạch lạc có thể tạo thành từ các công cụ của hình học phức, một nhánh toán học mô tả các đường cong hình học theo nghĩa đại số và giải các bài toán hình học bằng các phương trình đại số.[54] Mặt khác, có thể xây dựng phạm trù Fukaya bằng hình học ngẫu đối (symplectic geometry), một nhánh toán học xuất hiện từ nghiên cứu vật lý cổ điển. Hình học ngẫu đối xem xét các không gian có dạng ngẫu đối, một công cụ toán học dùng để tính toán diện tích trong các ví dụ hai chiều.[17]

Giả định đối xứng gương đồng đều của Maxim Kontsevich khẳng định rằng phạm trù phái sinh của các bó mạch lạc trên một đa tạp Calabi–Yau tương đương theo một nghĩa nhất định với phạm trù Fukaya của đa tạp gương của nó.[55] Sự tương đương này cung cấp một hình thức toán học chính xác về đối xứng gương trong lý thuyết dây tôpô. Hơn nữa, nó còn cung cấp một cầu nối ngoài mong đợi giữa hai nhánh khác nhau của hình học, hình học phức và hình học ngẫu đối.[56]

Giả thuyết Strominger-Yau-Zaslow

Một cách tiếp cận khác đối với đối xứng gương là giả định SYZ, do Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, và Eric Zaslow năm 1996.[20] Theo giả định này, đối xứng gương có thể được hiểu bằng cách chia một đa tạp Calabi–Yau thành những mảnh đơn giản hơn và biến đổi chúng để thu được đa tạp gương của nó.[57]

Ví dụ đơn giản nhất về một đa tạp Calabi–Yau là một hình khuyên hai chiều (đôi khi còn gọi là hình bánh vòng).[58] Xét một đường tròn trên mặt này cuộn từ trong ra ngoài, như đường tròn màu đỏ ở hình vẽ. Có vô số đường tròn như thế trên hình xuyến; thực tế, toàn thể mặt là một phép hợp của những đường tròn như vậy.[59]

Người ta có thể chọn một đường tròn phụ B {\displaystyle B} (đường tròn hồng trong hình) sao cho vô số đường tròn phân tích hình xuyến đi qua một điểm của B {\displaystyle B} . Theo cách này đường tròn bổ trợ tham số hóa cho các đường tròn phân tích, nghĩa là có một sự tương ứng giữa chúng và các điểm trên B {\displaystyle B} . Tuy nhiên đường tròn B {\displaystyle B} không đơn thuần chỉ là một danh sách, bởi vì nó cũng quyết định cách những đường tròn trên sắp xếp trên hình xuyến. Không gian bổ trợ đóng vai trò quan trọng trong giả định SYZ.[53]

Ý tưởng chia hình khuyên thành các mảnh bị tham số hóa bởi một không gian phụ có thể tổng quát hóa bằng việc tăng số chiều từ 2 lên 4 chiều, và khi đó đa tạp Calabi–Yau trở thành một mặt K3. Giống hệ như cách hình xuyến phân tích thành các đường tròn, một mặt K3 4 chiều có thể phân tích thành các hình khuyên 2 chiều. Trong trường hợp này không gian B {\displaystyle B} là một mặt cầu thông thường. Mỗi điểm trong mặt cầu tương ứng với một hình xuyến, trừ 24 điểm "xấu" tương ứng với các hình xuyến bị "ngắt" hay kỳ dị.[53]

Các đa tạp Calabi–Yau quan trọng nhất trong lý thuyết dây đều có 6 chiều. Người ta có thể chia các đa tạp như vậy thành những thể xuyến 3 chiều (các đối tượng ba chiều tổng quát hóa khái niệm hình xuyến) tham số hóa bởi một thể cầu 3 chiều (đối tượng 3 chiều tổng quát hóa khái niệm mặt cầu) B {\displaystyle B} . Mỗi điểm của B {\displaystyle B} tương ứng với một thể xuyến 3 chiều, trừ vô số các điểm "xấu" tạo thành các lưới những đoạn của đa tạp Calabi–Yau và tương ứng với một hình xuyến kỳ dị.[60]

Khi đa tạp Calabi–Yau đã phân tích thành các phần đơn giản hơn, ta có thể hiểu đối xứng gương theo hình học trực quan. Chẳng hạn, xét hình xuyến mô tả ở trên. Tưởng tượng mặt xuyến này đại diện cho một không-thời gian trong một lý thuyết vật lý. Các đối tượng cơ bản của lý thuyết này có thể là những dây lan truyền trong không-thời gian tuân theo các định luật của cơ học lượng tử. Một trong những đối ngẫu cơ bản của lý thuyết dây là đối ngẫu T, nó khẳng định rằng một dây lan truyền qua một đường tròn bán kính R {\displaystyle R} tương đương với dây lan truyền quanh một đường tròn bán kính 1 / R {\displaystyle 1/R} theo nghĩa là tất cả các đại lượng quan sát được trong một mô tả này là đồng nhất với đại lượng trong mô tả đối ngẫu.[61] Chẳng hạn, một dây có động lượng khi nó lan truyền quanh một vòng, và nó cũng quấn xung quanh đường tròn một hoặc nhiều lần. Nếu một dây có động lượng p {\displaystyle p} và số lần quấn n {\displaystyle n} trong một mô tả, nó phải có động lượng n {\displaystyle n} và số lần quấn p {\displaystyle p} trong mô tả đối ngẫu.[61] Bằng cách áp dụng đối ngẫu T đồng thời cho tất cả các đường tròn phân tích hình khuyên, bán kính của những đường tròn này nghịch đảo, và người ta có một hình khuyên mới "béo hơn" hoặc "gầy hơn" hình khuyên ban đầu. Hình khuyên này là ảnh gương của đa tạp Calabi–Yau ban đầu.[62]

Đối ngẫu T có thể mở rộng từ đường tròn sang các hình khuyên 2 chiều xuất hiện trong phân tích một mặt K3 hoặc sang các hình khuyên 3 chiều trong phân tích đa tạp Calabi–Yau 6 chiều. Nói chung, giả định SYZ khẳng định rằng đối xứng gương tương đương với việc áp dụng đồng thời đối ngẫu T vào các hình khuyên này. Trong mỗi trường hợp, không gian B {\displaystyle B} cung cấp một loại sơ đồ mô tả cách thức các hình khuyên này hợp lại thành một đa diện Calabi-Yau.[63]